Erwandi Gunawan Dly: Pengantar Trigonometri Bola dan Bola Langit Oleh: Hendro Setyanto

Pengantar Trigonometri Bola dan Bola Langit

Oleh: Hendro Setyanto

Observatorium Bosscha – FMIPA ITB

Indonesia Mobile Observatory – Jendela Antariksa Masyarakat Indonesia

1. Definisi Trigonometri Bola

Segitiga dibentuk oleh tiga titik sembarang yang dihubungkan melalui jarak terpendek diantara ketiga titik tersebut. Setiap segitiga terdiri dari 6 (enam) komponen, yaitu: tiga buah garis dan tiga buah sudut. Secara umum 3 garis tersebut tidak selalu garis lurus melainkan garis geodetic yaitu garis terpendek yang pada permukaan bidang. Jika permukaan tersebut merupakan sebuah bidang maka garis geodetiknya berupa sebuah garis lurus yang membentuk sebuah segitiga bidang. Jika permukaan tersebut merupakan sebuah bola maka jarak terdekat merupakan busur yang dibentuk dari pusat lingkaran yang melalui kedua titik tersebut. Segitiga yang terbentuk disebut sebagai segitiga bola.

Trigonometri Bola membahas hubungan diantara 6 komponen segitiga bola dan permasalahan yang dapat diselesaikan melalui hubungan keenam komponen tersebut.

2. Penggunaan Trigonometri Bola

Dapat dipahami bahwa segitiga yang dibentuk oleh tiga titik dipermukaan bumi bukanlah segitiga datar melainkan segitiga bola dimana jarak diantara titik-titik tersebut diukur dari busur lingkaran besar. Penggunaan segitiga datar pada bidang bola berlaku jika jarak antar titik-titik sangat dekat. Sehingga semua pengukuran geodetic yang melibatkan skala besar memerlukan pengetahun akan trigonometri Bola. Begitu juga halnya dengan dunia Navigasi. Meskipun Bumi tidak berbentuk lingkaran sempurna sehingga memerlukan pemahaman akan trigonometri spheroid namun pendekatan dengan hukum-hukum segitiga bola dalam banyak kasus sangat mencukupi.

Pemahaman akan trigonometri bola lebih diperlukan oleh para astronom dimana posisi benda-benda langit dibayangkan berada dalam sebuah bola, bola langit.

3. Segitiga Bola

Setiap penampang bidang pada sebuah bola berbentuk lingkaran dimana jika melalui pusat bola disebut sebagai lingkaran besar karena secara geometri lingkaran tersebut mempunyai luas dan keliling paling besar dan jika tidak disebut sebagai lingkaan kecil. Lihat gambar 1.

Gambar 1. Lingkaran yang melalui pusat bola P disebut lingkaran besar, lingkaran A dan B disebut lingkaran kecil karena pusat lingkaran tidak berada pada pusat bola.

Dalam trigonometri bola, sebuah lingkaran umumnya dinyatakan oleh titik-titik yang dilalui oleh lingkaran tersebut. Pada Gambar 2 dapat ditemukan beberapa lingkaran al: KAN.P (lingkaran yang melalui titik K-A-B dan berpusat di P), LRM.P, ZRA.P, ZMN.P. Lingkaran yang berpusat di pusat bola merupakan lingkaran besar. Jika dua buah lingkaran besar berpotongan disebut titik maka keduanya membentuk sebuah sudut bola. Perhatikan 2 lingkaran besar ZRA.P dan ZMN.P yang berpotongan di titik Z. Dengan membuat garis singgung pada kedua lingkaran besar tersebut (ZS dan ZT , dimana ZS zejajar dengan PA dan ZT sejajar dengan PN) maka sudut bola yang dibentuk oleh kedua lingkaran besar tersebut sama dengan sudut yang dibentuk oleh kedua garis singgung di Z, yaitu sudut SZT.

Jika terdapat 3 lingkaran besar yang salaing berpotongan satu sama lain maka akan terdapat 3 buah titik potong yang membentuk 3 buah sudut bola. 3 sudut bola beserta busur terpendek yang menghubungkan ketika titik tersebut membentuk sebuah segitiga pada permukaan bola yang disebut sebagai segitiga bola.

Gambar 2. Segitiga Bola ABC dibentuk oleh 3 titik dipermukaan bola yang merupakan perpotongan dari 3 buah lingkaran besar, yaitu: lingkaran AB.P, BC.P dan AC.P

Perhatikan gambar 2, jika busur AB, dan BC merupakan bagian dari lingkaran besar yang berpusat di P maka segitiga ABC yang terbentuk dapat disebut sebagai sebuah segitiga bola. Dimana panjang busur setiap sisi-sisinya dapat ditulis sebagai:

AC = R x sudut APC; dimana sudut APC dinyatakan dalam radian

Jika R dianggap sebagai sebuah satuan, maka busur AC menyatakan sudut yang dibentuk di pusat bola. Jika panjang busur AC adalah 1/8 kejliling lingkaran, maka sudut yang dibentuk adalah π/4 atau 45 derajat.

Dari definisi segitiga bola maka panjang sebuah sisi sebuah segitiga bola tidak bisa sama dengan atau lebih dari 180 derajat.

4. Persamaan Co-Sinus

Seperti halnya segitiga datar yang memenuhi hukum sudut dalam trigonometri datar segitiga bola juga mempunyai formula-formula (baca. Persamaan) yang menghubungkan 6 komponen utamanya, yaitu 3 sudut dan 3 sisi. Perhatikan Gambar 3 berikut ini.

Gambar 3. Gambar skematik yang dipergunakan sebagai Dasar penurunan formula cosines untuk segitiga bola

Dari penurunan persamaan trigonometri diperoleh persamaan cosines untuk segitiga bola sebagai berikut:

Cos a = cos b x cos c + sin b x sin c x cos A

Cos b = cos a x cos c + sin a x sin c x cos B

Cos c = cos a x cos b + sin a x sin b x cos C

dan

Cos A = cos B x cos C + sin B x sin C x cos a

Cos B = cos C x cos A + sin C x sin A x cos b

Cos C = cos A x cos B + sin A x sin B x cos c

Dari Formula Cosinus tersebut data diturunkan beberapa formula lainnya diantaranya adalah:

Formula Tangent :

dimana

Formula Sinus :

Ingat : sin A = sin (180 – A), perlu informasi lain untuk menentukan nilai busur yang tepat.

Formula Analog:

Tuliskan Formula Analog Lainnya

Formula Empat Bagian:

Gambar 4. Penjelasan skematik dari Formula Empat Bagian.

Tuliskan Formula Empat-Bagian Lainnya

Kasus Khusus:

Bentuk formula segitiga bola dapat menjadi lebih sederhana jika salah satu bagiannya (sudut ataupun sisinya bernilai 90 derajat). Bentuk sederhana tersebut diformulasikan dengan sangat baik oleh Napier sehingga sering disebut sebagai Aturan Napier.

Gambar 5. Aturan Napier yang memaparkan untuk kasus khusus dimana salah satu bagiannya 90 derajat

Bola Bumi

Anggap Bumi sebagai sebuah bola sempurna. Sebuah titik dipermukaan bumi dinyatakan oleh sebuah sistem koordinat yang terdiri dari 2 lingkarang utama yang saling tegak lurus yaitu: Lintang dan Bujur yang dihitung dari equator dan lingkaran meredian yang melewati Greenwich, Inggris. Equator merupakan lingkaran besar yang memiliki dua kutub, yaitu: Kutub Utara dan Kutub Selatan. Bujur sebuah kota (

) diukur sepanjang lingkaran ekuator ke timur dan ke barat dari meredian acuan Greenwich. Besaran Bujur dapat dinyatakan dalam satuan sudut atau satuan waktu, dimana

Perhatikan ilustrasi bola bumi sbb:

Gambar2. Definisi bujur dan lintang pada bola Bumi

Kota S terletak pada suatu posisi lintang dan bujur tertentu S(

). Posisi S digambarkan sperti pada gambar 2. Besaran lainnya ada yang disebut sebagai co-latitude (co-lintang) dimana:

Asumsi bumi bulat merupakan sebuah pendekatan semata. Adapun untuk memperoleh hasil yang lebih baik diperlukan informasi mengenai kepepatan Bumi yang sesungguhnya. Faktor kepepatan bumi tidak dibahas dalam makalah ini.

KASUS: Turunkan Persamaan Arah Kiblat dengan menggunakan konsep segitiga bola

Sistem Koordinat Horison

Sistem Koordinat Horison merupakan sistem pemetaan posisi benda langit yang paling tua. Sistem ini didasarkan pada kesan pengamat akan keberadaannya disebuh bidang datar dan menjadi pusat bagi pergerakan benda-benda langit yang ada. Gambar 4 menunjukkan sketsa posisi pengamat di sebuah pemukaan Bumi(O) pada sebuah lintang tertentu (

). Titik yang berada tepat di atas O disebut zenith(Z) dan yang berada di bawah pengamat disebut Nadir. Karena

dan

maka

, hal ini menunjukkan ketinggian kutub sama dengan lintang pengamat.

(a) (b)

Gambar4. Definisi yang berhubungan dengan posisi di permukaan Bumi (kiri) dan Sketsa Bola langit untuk pengamat di O (kanan).

Gambar 4b menunjukan sketsa pola langit untuk pengamat O, dimana P merupakan Kutub langit. Dalam tata koordinat Horison, posisi sebuah benda langit (misal X) dinyatakan dengan Azimuth (A) dan Altitude (a). Altitude sebuah obyek diukur tegak lurus dari dari horison pengamat (lingkaran NESAW) yang paling dekat. Sedangkan Azimuth diukur dari sebuh titik acuan yang terdapat di lingkaran horison. Pada dasarnya seseorang bebas memilih titik acuan untuk Azimuth tersebut. Namun umumnya, Azimuth diukur dari titik Utara (0deg) memutar ke arah timur(90deg) atau dari Utara memutar ke arah barat ( (90deg). Posisi benda langit juga sering digambarkan dengan jarak zenith(z) dimana

Sistem ini sangat bersifat lokal, dimana untuk 2 pengamat yang berbeda lokasi akan mengukur posisi obyek langit secara berbeda. Meski demikian sistem horison tersebut banyak digunakan dalam sistem kontrol teleskop besar dimana dalam sistem komputernya dilakukan transformasi koordinat dari horison ke equator. Bagaimana melakukan transformasi koordinat?

Sistem Ekuator

Pada dasarnya sistem ekuator merupakan pengembangan ke arah langit dari sistem koordinat bola Bumi, dimana ekuator bumi menjadi ekuator langit dan kutub bumi menjadi kutub langit. Jika posisi di Bumi dinyatakan dengan lintang dan bujur maka dalam koordinat horison dinyatakan dengan deklinasi(DECL.;) dan Asensiorekta(RA;). Dimana Diukur dari equator langit (+ ke arah utara dan – ke arah selatan) dan RA diukur dari titik Aries (Haml) yang merupakan salah satu titik potong dari perpotongan bidang equator langit dengan bidang ekliptika.

Perhatikan gambar berikut:

Gambar 5. Skema Koordinat Equator. Posisi sebuah benda langit (x) dinyatakan dengan Deklinasi dan Asensiorekta. Deklinasi dihitung dari ekuator langit dan asensiorekta diukur dari posisi titik Aries.

Koordinat ekuator menggunakan 2 lingkaran besar (Ekuator Langit dan Meridian) sebagai kerangka acuannya. Dimana Deklinasi dihitung dari Ekuator Langit dan RA dihitung sepanjang lingkaran ekuator langit yang bermula dati titik Aries. Disamping itu lingkaran horison juga sangat dimana titik Barat dan Timur didefinisikan sebagai perpotongan antara lingkaran equator langit dengan horison.

Posisi benda langit x dinyatakan dalam deklinasi (busur BX) dan asensiorekta (Busur gB); x(d,g). Lingkaran besar yang melalui P dan Q disebut sebagai meridian, dimana meridian yang melewati zenith disebut sebagai meridian pengamat, sudut yang dibentuk oleh garis meridian benda langit dengan meridian pengamat disebut sebagai sudut jam (Hour Angle, HA). Sehingga ketika sebuah benda langit berada di meridian pengamat maka HA = 0, HA didefinisikan positif (+) setelah melewati meridian pengamat dan negatif (-) sebelum mencapai meridian pengamat. Meridian pengamat merupakan titik tertinggi dalam pergerakan setiap benda langit.

Bagaimanapun HA merupakan besaran yang masih bersifat lokal. Untuk memperolah besaran yang bersifat universal seperti HA, didefinisikan sebuah besaran Asensiorekta(RA) dimana HA dan RA dihubungkan dengan persamaan:

Dimana LST = Local Siderial Time

RA = Asensirekta yang dihitung dari titik Aries yang juga dikenal sebagai titik musim semi.(HA_aries=0)

Transformasi Koordinat

Gambar6. Posisi x ditinjau dari dua sistem koordinat.

Tranformasi koordinat dari dua buah sistem dapat diperoleh dengan menggambarkan kedua sistem koordinat tersebut dalam sebuah bola langit. Dari kedua sistem koordinat tersebut diperoleh sebuah segitiga bola yang disusun dari lingkaran besar kedua sistem yang dikehendaki. Pada gambar 6 dapat dilihat posisi x yang ditinjau dari dua buah sistem koordinat, yaitu koord. Horison dan koord. Ekuator.

Perhatikan segitiga bola PZX yang dibentuk oleh tiga lingkaran besar; Meridian Pengamat, Deklinasi dan tinggi. Dari segitiga bola tersebut diperoleh:

Gambar 7 merupakan sketsa segitiga bola PZX yang diambil dari gambar6. Dari Gambar 6 tersebut diperoleh hubungan hubungan sisi-sudut yang ada melalui formula cosinus diperoleh hubungan